Introducción:

“Nos ha parecido oportuno explicar hasta aquí los términos menos conocidos y el sentido en que se han de tomar en el futuro. En cuanto al tiempo, espacio, lugar y movimiento, son de sobra conocidos para todos. Hay que señalar, sin embargo, que el vulgo no concibe estas magnitudes si no es con respecto a lo sensible…”

Así comienza el cuerpo del ejemplar que guardo en mi librería de los “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural” de Isaac Newton; obra que asienta la base de la mecánica que se desarrollará en los siglos posteriores y representa el nacimiento de la física matemática.

En sus escritos Newton presenta, entre otras cosas, las que pasaran a la historia como sus tres leyes; tres normas a través de las cuales se puede conocer el movimiento y la dinámica de cualquier sistema físico. En palabras del propio físico:

LEY 1:

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.

LEY 2:

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual la fuerza se imprime.

LEY 3:

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpo siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Estos son los tres sencillos enunciados que le permitieron al Sir inglés comprender el porqué de las cosas y analizar desde el movimiento de los planetas a la difusión de un fluido en una cavidad.

Ciertamente, las leyes de Newton son argumentos maravillosamente simples y poderosamente efectivos. En la práctica, uno no necesita más que conocer la naturaleza de las fuerzas a las que está sometido un cuerpo para poder, mediante la resolución de una sencilla ecuación diferencial, predecir el estado de movimiento de este en cualquier instante posterior y anterior a la observación. En este sentido la teoría de Newton es una teoría determinista y completa, asume que no hay ningún fenómeno en el Universo que no siga con extrema precisión sus leyes. Sin embargo, eso no quiere decir que todos los sistemas se puedan resolver mediante su aplicación. Basta imaginar un sencillo sistema para comprender el porqué de esta aseveración.

Supongamos que tenemos dos pelotas de beisbol atadas la una a la otra mediante un hilo elástico. Si lanzamos una de ellas al aire con cierto impulso, es lógico que la otra la perseguirá fruto de su atadura. Si quisiéramos predecir de antemano el movimiento de ambas pelotas, deberíamos conocer las fuerzas que actúan sobre ambas en cada instante y eso incluye la fuerza elástica a la que está sometido el hilo. Y aquí aparece el problema, esta fuerza, debido a los movimientos que pueden realizar las pelotas, es increíblemente complicada, por lo que sólo el conocerla requeriría más esfuerzo que la resolución de todos los problemas a los que cualquier físico se enfrentará a lo largo de su vida. Aparece pues, un gran punto flaco de la teoría newtoniana, o al menos de su aplicación; pues prácticamente todos los sistemas del planeta están sometidos a fuerzas no triviales.

Sin embargo, una respuesta del tipo “no puedo hacerlo” no es propia de un científico, pues nuestra tarea es hacer posible lo imposible. Por ello, en los siglos posteriores a la formulación de Newton, gracias a un inmenso desarrollo tanto de la física como de las matemáticas en que se escribe, decenas de mentes ilustres atacaron el problema y evolucionaron hacia una reformulación más apropiada de la mecánica.

Los dos primeros pasos importantes vinieron de dos caminos separados completamente. Por un lado, D´Alembert, filósofo y matemático de siglo XVIII generaliza las leyes de Newton y el concepto de fuerza en el principio que llevará su nombre, del cual se derivan unas ecuaciones del movimiento mucho más generales que las de Newton y conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange. Por otro camino, Maupertuis y Hamilton, contemporáneos de D´Alembert proponen un principio de economía universal que pasará a la historia como el Principio de Hamilton:

“De todas las posibles formas de evolución que puede seguir un sistema físico, aquella que verdaderamente sigue es la que vuelve mínima la integral de acción del sistema”

Expliquemos un poco la aseveración de Hamilton. Cuando liberamos un sistema físico, por ejemplo una pelota lanzada al aire, y nos desprendemos de nuestra experiencia cotidiana, no sabemos lo que va a ocurrir. Si no nos remitiésemos a experiencia pasadas, no podríamos saber si la pelota caería o quedaría suspendida en el aire, o incluso si daría un tirabuzón antes de aterrizar en nuestra cabeza. La idea de este físico inglés se fundamente en suponer que el sistema puede seguir cualquier trayectoria, incluso las más extravagantes; y a cada una de ellas les asigna una cantidad conocida como acción. Tras computar todas las infinitas trayectorias posibles, aquella que de verdad sigue el sistema es la que se corresponde con el mínimo valor posible de la acción (o el máximo en ciertas situaciones, pero no tiene sentido complicar las ideas).

Si operamos de esta manera, nos encontramos con que podemos obtener unas ecuaciones del movimiento generales para todos los cuerpos y que son, precisamente, ¡las ecuaciones de Euler-Lagrange! Es decir, el principio de Hamilton es un principio más general que el de Newton y no solo predice las ecuaciones de este si no también la generalización de D´Alembert. Una victoria ciertamente inmensa para dos hombres que partieron de una intuición muy profunda.

La matemática del asunto:

Así pues, como hemos visto, un sistema físico evoluciona de tal manera que vuelve mínima la acción de Hamilton; o estrictamente hablando, estacionaria la siguiente cantidad:

Donde q son las coordenadas generalizadas en las que se describe el problema y a la diferencia entre las energías cinética y potencial se le conoce como Lagrangiano, y se convierte en una magnitud básica en la física.

Es decir, si queremos conocer qué trayectoria sigue un cuerpo no tenemos más que escoger una posible, calcular la integral de la diferencia entre la energía cinética y potencial de la partícula mientras recorre esa curva y compararla con el valor obtenido en otras curvas. El valor máximo o mínimo de esta se corresponderá con la curva física verdaderamente seguida.

Si bien esta reformulación anula de un plumazo el problema newtoniano al no tener que cuantificar las fuerzas si no sólo atender a las posibles formas de la trayectoria (o lo que es lo mismo, imponer ligaduras matemáticas sencillas); sigue existiendo el problema de extraer una ecuación para la trayectoria. Para ello, se recurre al cálculo variacional, una rama de las matemáticas dedicada a tratar problemas como el que nos incumbe.

Como primera aproximación para aquel no versado en profundidad en matemáticas, podemos entender el cálculo variacional como similar a la derivación clásica. En realidad, este método consiste en suponer una familia infinita de curvas que recorran el espacio de fases entre los puntos inicial y final de la trayectoria y, fijando el mismo punto final e inicial para todas, cuantificar cómo cambia el valor de la acción cuando variamos la curva.

Ahora bien, a efectos prácticos, las variaciones, indicadas con una delta, son equivalentes a diferenciales, pues son lineales, cumplen la regla de la cadena y conmutan con cualquier otra derivación.

Así pues, buscaremos la variación de la acción en función de la variación de la coordenada que  describe la curva seguida por la partícula (en nuestro ejemplo utilizaremos una sola dimensión). Utilizando la regla de la cadena podemos escribir lo siguiente:

Donde ∂q representa la derivada de q respecto al tiempo o velocidad generalizada.

El segundo término ya está escrito en función de la variación de q, pero el primero necesita algo de trabajo previo. Para ello, primero observamos el integrando:

Donde las derivadas se han intercambiado en aplicación del Teorema de Fubinni.

Ahora, solo nos resta integrar por partes:

Sin embargo, el primer término se ha de anular (pues todas las curvas poseen los mismos extremos y, por tanto, δq, la variación en los extremos, ha de ser 0).

De tal manera que, agrupando términos, la variación de la acción es:

Ahora bien, el razonamiento a seguir es similar al que se lleva a cabo en un cálculo infinitesimal. Si deseamos que el valor de S sea estacionario, su variación alrededor de ese punto ha de ser nula en primer orden y para toda curva. Por tanto, el integrando se ha de anular identicamente, con lo que obtenemos la conocida como Ecuación de Euler- Lagrange de la dinámica:

Observemos que, de hecho, estas ecuaciones de  movimiento son equivalentes a la segunda Ley de Newton, pues para potenciales no electromagnéticos se cumple que el primer término es la derivada del momento lineal y  el segundo término resulta ser la fuerza. De manera que la anterior ecuación se reduce a:

La segunda Ley de Newton de la Dinámica.

Así pues, obtenemos una ecuación diferencial equivalente a la que representa la segunda ley de Newton pero que ha sido obtenida sin conocer las fuerzas concretas que intervienen en el problema, si no sólo las formas matemáticas de las posibles energías que puede adquirir la partícula considerada.

Conclusiones:

Esta formulación es francamente poderosa y permite enfrentar con relativa sencillez problemas aparentemente complicados como pueden ser los movimientos de cuerpos rígidos u oscilantes. Así mismo, el lenguaje de la mecánica lagrangiana se traslada a la física de fluidos y a otros muchos ámbitos de la física clásica.

Así mismo, la formulación variacional de la mecánica es un punto clave a la hora de formular teorías modernas que relacionen conceptos de varios ámbitos, como veremos más adelante en esta serie de artículos.

De esta manera hemos reformulado la mecánica clásica a través de un principio que se antoja mucho más general que el asociado a las leyes de Newton. En verdad, este principio subyace tras las tres leyes del Sir inglés, pero, evidentemente, es necesario mucho más bagaje matemático para poder trabajar con él, lo que explica porqué nuestras líneas de pensamiento han seguido el camino contrario, porqué hemos empezado la casa por el tejado.

Perturbaciones del Multiverso:

¿Sabías qué…

… las teorías de campos se formulan con una integral de acción que incluye no solo a las partículas si no la misma naturaleza de los campos?

… Jacobi amplió el concepto de Hamilton hasta convertirlo en una teoría completamente sólida?

… al ampliar esta idea Jacobi casi descubre de casualidad la mecánica cuántica… ¡en el siglo XVIII!?

… puedes buscarle errores a Sergio sin más que resolver las Ecuaciones de Euler-Lagrange para un potencial armónico?

No sé si os habéis dado cuenta pero, al igual que yo, la naturaleza es vaga. Sí sí, seguro que lo sabíais, así que no pongáis cara rara. La naturaleza es vaga y la física tiene constancia de ello desde hace mucho tiempo. ¿Qué cómo? A través de lo que se conoce como principios de mínimo. Leyes físicas que establecen que, en un determinado proceso, algunas cantidades tienden a hacerse mínimas.
Y de eso, amigos míos, es de lo que hablaremos hoy: Los Principios de Mínimo.