En una galaxia, las estrellas rotan alrededor del centro galáctico

En el día de hoy está organizándose un gran revuelo en la blogosfera española debido a la reseña publicada por Alt1040 de otra reseña, esta vez de Physorg, sobre el preprint que A. Carati publicó la semana pasada en Arxiv.

El asunto en cuestión radica en que el matemático italiano ha propuesto un modelo que, según él, es capaz de ajustar las curvas de rotación galácticas sin necesidad de suponer la existencia de materia oscura y este hecho, el intentar tirar por borda una de las hipótesis más arraigadas de la física pone cachondos a muchos comentaristas en algunos agregadores sociales. Pero… ¿tiene el artículo de Carati alguna relevancia real? ¿Está desmoronando, por enésima vez en lo que va de año, los pilares de la física?

El problema con las curvas de rotación galácticas viene de largo. Como todos sabréis, el modelo más usual de galaxia es un conjunto de masa (estrellas en su mayoría) dispuestas en forma elíptica o espiral. El hecho de que sea una u otra no es relevante porque en ambas se cumple una propiedad, que todas las estrellas orbitan alrededor del centro de masas de la galaxia, sito en su centro. Debido a esto, y mediante el uso de mecánica newtoniana sencilla, se puede predecir la dependencia de la velocidad de órbita de una estrella concreta con su distancia al centro galáctico, una dependencia que se representa gráficamente en lo que se conoce como curva de rotación.

Sin embargo, observaciones de precisión a finales de los años 50 hicieron notar que las curvas de rotación de las galaxias observadas no seguían el modelo predicho por la mecánica si no que, para poder ser explicadas sin romper las leyes de la física había que asumir la existencia de una ingente cantidad de masa que, por alguna razón, no emitía luz y que, por tanto, se denominó materia oscura. Vamos, que lo de oscura no hace referencia a ningún ente mágico o paranormal, simplemente hace referencia a que no la vemos.

En azul la curva dada por la mecánica newtoniana, en rojo la observada y explicable si se introduce más masa en el sistema

Hasta aquí la historia, que renace esta semana con el preprint de Carati en el que lo que lo matemático italiano propone es un modelo donde, supuesta una distribución fractal de masa en las galaxias y aplicando las leyes de la relatividad general, se pueden obtener curvas de rotación que se ajustan fielmente a la realidad. ¿SIginifica esto que un matemático ha dejado en evidencia a todos los físicos teóricos y astrofísicos del mundo? Vayamos por partes.

Primero, he de decir que este no es ni el primer ni el último modelo que ajusta las curvas de rotación galácticas sin necesidad de introducir materia oscura. En los 80 surgió lo que se conoce como Dinámica de Newton Modificada, que es capaz de obtener curvas de rotación casi perfectas a costa de modificar la segunda ley de Newton por la introducción de un término extra. Y mucho mejor que la teoría de Carati.

Bullet Cluster. Los contornos indican la posición de la masa, que no se corresponde unicamente con la masa visible

Ahora pues, ¿por qué se sigue aceptando la materia oscura como la solución a todos nuestros males? Pues porque las curvas de rotación no son la única evidencia que tenemos de su existencia. Observaciones de lensing gravitatorio (recomiendo leer el excelente artículo de Darksapiens sobre el tema en Amazings) en el conocido como Bullet Cluster ponen en evidencia que existe masa que no vemos pero que presenta efectos gravitatorios sobre los objetos cercanos. Así mismo, observaciones cosmológicas (como anisotropías en el fondo cósmico de microondas) nos vuelven a decir que necesitamos más masa en el universo, pero que no la vemos.

Así mismo, centrándonos en la teoría de Carati, este expone la necesidad previa de una distribución fracta de la masa galáctica… algo que no observamos, por lo que su teoría sólo podría ser cierta si hubiese masa dispuesta de esa forma pero que no es observable… ¿os suena el cuento? Pues sí, el propio Carati llega a la necesidad de la materia oscura incluso cuando intenta negarla.

Con todo esto no quiero decir que la materia oscura sea una realidad firme que debemos creernos a pies juntillas, si no que es una hipótesis sólida y que, en ciencia, hay que ser escépticos y no creerse el primer paper prometedor que encontramos (más aún cuando no está ni publicado en una revista con revisión de pares, es sólo un preprint) ni montar revuelos estúpidos.  La ciencia es un tema que avanza despacio y que, pese a lo que la cultura pop muestra, no ha sido creada por cuatro revolucionarios con ideas rompedoras, si no por el trabajo de miles de científicos y sus publicaciones. Y aquí se aplica lo de que 1000 mentes piensas mejor que una.

Actualización

Después de leerme el artículo de Carati con más calma, veo que entre sus premisas contiene un razonamiento circular. Está intentando demostrar que los efectos de la masa a gran distancia pueden explicar las curvas de rotación galácticas, pero para ello parte de la Ley de Hubble, cuya demostración general implica haber despreciado efectos a larga distancia (lo que los físicos llamamos quedarnos a primer orden)… luego está intentando demostrar una hipótesis partiendo de un razonamiento que contiene la negación de esa misma hipótesis.

Peter Higgs desarrolló la teoría matemática que explica la interacción del bosón que lleva su nombre

Cualquiera que no haya vivido en una cueva durante los últimos años habrá leído más de una noticia sobre el LHC, el Gran Colisionador de Hadrones que la UE con la colaboración de otros países ha construido en el CERN, en la frontera francosuiza, con el supuesto objetivo de reproducir la física del Big Bang. Pese a ello, y aún cuando la frase anterior ya le hace a uno levantar la ceja con escepticismo, no es esta empresa la que ha llevado a la fama absoluta al ciclotrón de Ginebra, si no el intento de búsqueda de la mal llamada por el periodismo Partícula de Dios: El Bosón de Higgs.  A pesar de que su nombre popular es completamente exagerado, sí es verdad que el bosón encargado de propagar el campo de Higgs juega un papel fundamental en la comprensión de la sopa de partículas que forma el Universo, pues sería el encargado de lo que se conoce como ruptura electrodebil, uno de los fenómenos más importantes en física y que explica el porqué los fotones no tienen masa mientras que los bosones W y Z sí.

Esta última afirmación puede parecer irrelevante a la vista de la gran variedad de masas que las distintas partículas poseen, pero en realidad constituye uno de los problemas aún sin resolver completamente en nuestro modelo de las interacciones fundamentales, pues cuando las energías son suficientementes altas, las interacciones electromagnética y débil se vuelven una sola, comportándose todos sus partículas transmisoras como partículas sin masa. Es decir, lo que a energías cotidianas observamos como dos fuerzas distintas, el electromagnetismo y la nuclear débil (causante de las desintegraciones radiactivas), cuando subimos la temperatura (equivalente  a darle más energía a las partículas) se confunden, haciendo indistinguible una interacción de la otra. Suena raro, lo se, pero es algo comprobado experimentalmente desde los años 60, pues las energías necesarias no son excesivamente altas. Así que surge la duda ¿por qué esto ocurre? ¿Qué clase de fenómeno se ocupa de dar masa a parte de los bosones (W Y Z) mientras el fotón se salva de engordar? Y aquí es donde aparece el dichoso Bosón de Higgs.

La interacción debil es la causante de las desintegraciones radiactivas

Para comprender este fenómeno, supongamos que tenemos un campo que propaga una interacción “parecida” al electromagnetismo por el espacio (o equivalentemente, que tenemos partículas transmisoras sin masa moviéndose de un punto a otro continuamente). Este campo, como todo lo que existe en física, tendrá una cierta energía potencial, cuyo mínimo (en vista a la naturaleza vaga del Universo) indicará el estado de equilibrio del campo. Es decir: la situación estable es aquella donde la energía potencial del campo es mínima. Además, en esta situación, su energía cinética será nula, pues el campo estará en equilibrio y no se moverá de ese punto. Por tanto, toda la energía que le quede al campo, la correspondiente al mínimo de la energía potencial, ha de ser unicamente debida a la masa en reposo de las partículas que lo propagan (recordad, E=mc^2); pero como estas no tienen masa,  este valor es cero. Sin embargo, si el mínimo de la energía potencial del campo tuviese otro valor, la partícula adquiriría masa al instante en situación recíproca. ¿Veis por qué camino vamos para explicar la ruptura electrodebil?

Un mínimo de energía con valor distinto de cero para el campo de Higgs obliga al campo EM a tener energía no nula y, por tanto, masa

Añadamos ahora al coctel un campo que se conoce como escalar y que no es más que una interacción propagada por partículas de spín cero, como el bosón de Higgs. Si este nuevo campo interactúa con el anterior, aparecerá una nueva contribución a la energía potencial que dependerá no sólo del valor del campo “electromagnético” si no también del valor del campo escalar. Y, ¿qué ocurriría si el valor de la energía del campo de Higgs que hemos introducido fuese distinto de cero en la posición de equilibrio? Pues que el valor del mínimo de energía de nuestro campo tipo EM también sería distinto de cero y adquiriendo sus partículas masa instantáneamente por mediación de este.

Esto es lo que creemos que ocurre en la naturaleza. De alguna manera, la interacción débil y electromagnética, que a altas energías son la misma, interactúan con un campo de Higgs de manera que parte de las componentes de la interacción original (las correspondientes a la débil) ven desplazado su mínimo de energía, adquiriendo masa sus partículas transmisoras, mientras que el fotón se salva del fenómeno. El gran problema de asumir que este mecanismo es la respuesta a la ruptura radica en que la masa del propio bosón de spin cero que propaga el campo de Higgs es un parámetro libre: basta con que exista y su masa no sea nula para que el mecanismo funcione, por lo que esta podría tener cualquier valor. Por ello, cada vez estamos construyendo aceleradores más grandes, que nos permitan obtener energía cada vez mayores, con la esperanza (en el asunto que nos atañe) de poder generar un bosón de Higgs en algún momento. De hecho, a día de hoy casi hemos recorrido el camino completo, pues tenemos acotada la masa de esta esquiva partícula tanto por arriba como por abajo, dejando las posibilidades en una estrecha franja, de tal manera que, si las predicciones de Francis se cumplen, el año que viene podríamos asistir a la publicación de este descubrimiento.

¿Encontrará el LHC el Bosón de Higgs?

Pero claro, muchos se preguntan qué pasaría si esto no ocurre y nunca encontramos el bosón de Higgs. El problema de esta posibilidad radica en que  el mecanismo de Higgs es algo muy natural. En el ejemplo que aquí os muestro, veis como un simple desplazamiento del mínimo de energía lo pone en acción, pero su aparición es aún más general en cualquier teoría que contemple una simetría entre partículas que, a cierta escala de energía esta rota, como puede ser la Supersimetría. Es decir, el mecanismo de Higgs es demasiado natural y fácil de obtener como para que no exista en la naturaleza y, sabemos por experiencia que las opciones que le damos, la naturaleza las coge. Pero claro quizás esta sea caprichosa y la respuesta al problema de la ruptura electrodebil sea mucho más complicada. Al fin y al cabo, salvo que el dichoso Higgs aparezca, aún no hemos encontrado ninguna partícula elemental de spin cero, pese a que son las que aparecen de manera más sencilla en la teoría.

Así que ya veis, estamos en una encrucijada, el bosón de Higgs es algo tan natural que debe existir, pero la naturaleza no tiene porqué plegarse a nuestros deseos.

En realidad deberíamos añadir el movimiento de traslación del centro de masas de la peonza, pero podemos prescindir de su estudio al considerar un sistema de referencia en movimiento con él (solidario); esto nos permitirá considerar el problema de la peonza como el clásico ejemplo de sólido rígido simétrico con un punto fijo.

Si bien estos movimientos no son nada nuevo para quien alguna vez haya hecho bailar una peonza, tampoco lo son para la Mecánica Teórica. Para abordar este problema, consideremos el siguiente sistema de ejes:

Para quien tenga conocimientos básicos de mecánica, habrá notado que se trata de los Ángulos de Euler.

Si suponemos un sistema ideal sin disipación, de acuerdo con el principio de conservación de la energía tenemos que:

Donde “d” es la distancia entre el punto de apoyo y el centro de masas de la peonza.

En realidad deberíamos plantear primero el Lagrangiano del sistema para posteriormente calcular su Hamiltoniano; y una vez obtenido éste observar que no depende explícitamente del tiempo, lo que implica conservación de la energía.

Como consecuencia de que el potencial no depende ni del ángulo de rotación ψ ni del ángulo de precesión ϕ sus momentos conjugados se conservan. Estos momentos conjugados coinciden con las componentes sobre los ejes z y z’del momento angular L.

Esta última afirmación se debe, en parte, a que la energía potencial tampoco depende de las velocidades generalizadas.

Las expresiones para estos momentos son:

De estas dos expresiones podemos obtener la velocidad de precesión y de rotación como funciones de θ (ángulo de nutación):

Finalmente, incorporamos estas dos expresiones en la energía para llegar a una ecuación diferencial en el tiempo para θ:

Se puede llegar a una expresión integral para t(θ); que incluso se podría integrar. El problema viene a la hora de invertir la función t(θ) para lograr θ(t); no obstante, aún se pueden sacar algunas conclusiones sobre la nutación de la peonza.

El principal problema de resolver la integral de movimiento se encuentra en la aparición de integrales elípticas.

Como en toda ecuación diferencial que se precie, se necesitan unas condiciones iniciales. Para simplificar el análisis posterior fijaré la posición inicial en θ(0)=0, esto hace que los momentos angulares Lz y Lz’ sean iguales (para abreviar notación, llamaré L a Lz y Lz’) y que E’ = Mgd.

Lo cierto es que al elegir estas condiciones iniciales estamos perdiendo generalidad; pero opto por ellas porque de lo contario el estudio de la nutación se hace más enrevesado, aunque indicaré sus conclusiones al final.

Si aplicamos el cambio de variable u=cosθ, la ecuación diferencial para la nutación resulta:

Es decir, un polinomio de tercer grado en u; cuyas raíces son:

Dado que 2Mgd >0 y que una de las raíces es doble, g(u) es una de estas dos formas:

La demostración de que la raíz doble de un polinomio de grado 3 es a su vez un extremo roza la trivialidad.

Además, se tienen que cumplir que:

g(u)≥ 0 (porque g(u) es en realidad el cuadrado de una variable real).

-1≤u≤1 (porque recordemos que u es el coseno de un ángulo real).

Esto restringe la OPCIÓN A (u₃>1) a que u=cosθ=1, lo que implica θ=0: La peonza gira sobre sí misma completamente vertical, no se inclina.

Para la OPCIÓN B (u₃<1), existirá nutación siempre que u se encuentre entre uno y u₃.

El hecho de que u pertenezca a [1,u₃] implica que θ se encuentra en el intervalo [0, arccos(L²/2MgdI₁-1)].

Examinemos el caso límite (u₃=1):

Como L=I₃ɷ₃, entonces:

Si en lugar de imponer condiciones de contorno homogéneas hubiésemos establecido
θ(0)=θ₀, el interior de la raíz estaría multiplicado por cos θ₀; y la nutación no se daría hasta un cierto ángulo límite (arccosu₃); sino que el ángulo de nutación estaría comprendido por dos círculos límites θ₁ y θ₂, raíces de la función g(u) correspondiente.

Resumiendo, si la velocidad angular entono al eje z (eje de simetría de la peonza) es superior a su valor crítico no se produce nutación; sino que el eje de simetría de la peonza mantendrá un ángulo constante con la vertical. En cambio, si esta velocidad angular es inferior al valor crítico, observaremos un acercamiento y alejamiento del eje de rotación a la vertical (nutación).