Quien tuviese uno de estos...

Como todos habréis descubierto a lo largo de la semana y a través de distintos medios de información (una excelente crónica de manos de aberron), últimamente la física y el LHC están en boca de todos por culpa de unos inesperados neutrinos superlumínicos que han aparecido inesperadamente y que han llevado a los periodistas de medio mundo a enunciar a gritos la gran equivocación de Einstein o la violación de la Relatividad Especial. Y claro, a cualquiera acostumbrado a leer barrabasadas en las noticias de ciencia le chirrían los dientes con estos titulares. Porque, lo siento amigos y fanes de Star Trek: NO, los neutrinos superlumínicos no viajan en el tiempo. Pese a lo que muchos aseguraron la semana pasada, la Relatividad Especial, cimiento de la física moderna, no corre peligro.

Como muchos sabréis, la Relatividad Especial (SR) es una teoría descrita por varios físicos de comienzos del Siglo XX (Einstein y Lorentz entre ellos) y que consiste, esencialmente, en una reformulación de la dinámica que ya Newton enunció en el Siglo XVII para poder adaptarse a un nuevo grupo de simetría que se presenta necesario para que el electromagnetismo sea coherente. El problema radicaba en que la física newtoniana se construye de manera que todas las ecuaciones contenidas en ella sean invariantes ante lo que se conocen como transformaciones de Galileo, es decir, que si nos desplazamos a velocidad constante de algún modo (como en el interior de un tren), no exista experimento posible que nos permita conocer si nos estamos moviendo o no. Esta idea plasma esencialmente lo que se conoce como Principio de Relatividad de Galileo y que se considera uno de los axiomas principales de la física: no existe ningún sistema de referencia absoluto respecto al cual los demás se están moviendo.

Sin embargo, esta preciosa idea se iba al traste en la formulación del Electromagnetismo que Maxwell desarrolló a finales del Siglo XIX, debido a que la ecuación que describía la propagación de las ondas electromagnéticas no era invariante bajo transformaciones de Galileo, sino bajo otro tipo de transformaciones mucho menos intuitivas. Así, con esta dicotomía, la física teórica de comienzos del siglo pasado tenía dos caminos posibles: o bien la electrodinámica de Maxwell estaba equivocada o incompleta; o bien la mecánica newtoniana debía rendirse y ser reformulada para adoptar este nuevo grupo de simetría. Y como bien sabréis la mayoría, la segunda opción fue la que un físico de origen suizo y empleado en una oficina de patentes adoptó, enunciando las bases de lo que se conoce como Teoría de la Relatividad Especial. Sin embargo, pese a que él dio el paso definitivo, el mérito no fue solamente de Einstein, pues las transformaciones entre observadores adecuadas para el electromagnetismo y adoptadas por la SR como grupo de simetría fueron enunciadas por Lorentz, llamándose por eso este grupo, Grupo de Lorentz. Eso sí, el paso de Einstein fue muy importante conceptualmente, pues demostró que para la formulación de este grupo sólo hacía falta un requisito (además del Principio de Relatividad de Galileo): que exista una velocidad máxima invariante, igual para todos los observadores, que Einstein identificó con la velocidad de la luz.

Si bien la introducción histórica y los detalles conceptuales constituyen un relato grandioso, lo verdaderamente interesante es comprender cómo actúa el grupo de Lorentz sobre la posición de una partícula en el espacio y el tiempo. Para simplificar, tomemos un espacio-tiempo de dos dimensiones, una temporal y una espacial, en el que las partículas describirán trayectorias x(t) y consideremos un evento, el paso de una partícula por un punto en concreto del espacio, como se esquematiza en la figura siguiente.

Un evento situado en el punto x y en el tiempo t

Preguntémonos ahora cómo observa ese evento otro observador, que estará relacionado con el primero a través de una transformación del Grupo de Lorentz. Debido a su forma, el efecto de esta transformación será desplazar el vector sobre la hipérbola de la siguiente figura, llevando el punto A al punto A’. Así, otro observador se encontrará ese evento en una posición distinta del espacio y en un tiempo distinto.

Las transformaciones de Lorentz trasladan los eventos a lo largo de hipérbolas

Ahora bien, puesto que la velocidad de la luz es la velocidad máxima de la teoría, el espacio estará dividido por dos líneas infranqueables dadas por el movimiento de partículas de luz y separándose este en cuatro regiones, correspondientes a partículas moviéndose más lentas o más rápidas que la luz; de manera que en cada sector el efecto de una transformación de Lorentz es desplazar el vector sobre la hipérbola adecuada.

Así, el grupo de Lorentz realiza una foliación del espacio en hipérbolas diferenciadas

Ahora bien… ¿qué ocurre si tenemos una partícula en la región para v>c? A ser la hipérbola vertical, ¡¡una transformación desplaza punto en el tiempo!!. Por tanto, podría ocurrir que lo que para alguien es pasado, para otro sea futuro…

Para entenderlo mejor supongamos la situación  siguiente en la que una partícula, vista por un observador, va del punto A al punto B a una velocidad mayor que la de la luz.

Consideremos el movimiento de una partícula superlumínica del punto A al punto B

Si aplicamos una transformación de Lorentz, al desplazar el punto B sobre la hipérbola, podría darse el caso de que este quedase por debajo de A, como en la figura siguiente:

Al aplicar la transformación, el punto B pasa del futuro al pasado

Por lo que, para este observador, ¡la partícula ha viajado en el tiempo!

Sin embargo, hasta hace pocos días, la existencia de partículas superlumínicas era sólo una hipótesis atrevida y nunca contemplada como seria en la SR, pues al fin y al cabo, la velocidad de la luz es la máxima velocidad; pero parece que los neutrinos han llegado a trastocarlo todo… ¿o no?

Pues realmente no. En el caso de que los neutrinos del experimento OPERA se moviesen más rápido que la luz, ni la SR se desmoronaría, ni estas partículas viajarían en el tiempo. Lo que podría ocurrir es una de las dos siguientes alternativas.

El Profesor Emmet Brown sorprendido por los resultados del experimento OPERA

La primera y más sencilla supondría que la velocidad máxima no es la de la luz, sino la de los neutrinos (que realmente sería poco mayor que la primera). Si releéis lo que dijimos en este artículo, la SR no necesita que la velocidad de la luz sea la máxima, sino solamente que exista una velocidad máxima. Por tanto, una simple sustitución de la velocidad salvaría la SR, la causalidad y al pobre de Einstein de equivocarse (una vez más). Sin embargo, en el caso de que esto ocurriese debería ser posible medir velocidades variables de la luz respecto a los neutrinos en distintas situaciones, algo que no ha sido posible hasta ahora y que seguramente resulte demasiado complicado. Adicionalmente, es evidente que si la velocidad de los neutrinos es la máxima, estos dejan de poder viajar en el tiempo, pues ya no caerían en los laterales de los esquemas anteriores, si no sobre las rectas a 45°.

La otra alternativa es mucho menos bonita pero realmente le daría mucha más diversión a la física… ¿y si el grupo de Lorentz no es el grupo de simetría fundamental y hay que cambiarlo por otro, al igual que le ocurrió al de Galileo? Si os fijáis, el hecho de que los neutrinos viajen en el tiempo se debe a que se desplazan sobre las hipérbolas dadas por el grupo de Lorentz, pero si el grupo de simetría fuese otro, este hecho no tendría porqué darse. Ahora bien, esta es la posibilidad más descabellada y, aunque no hay que cerrarse nunca las puertas a lo desconocido, nuestro conocimiento experimental de la SR es lo suficientemente grande como para al menos apartar esta hipótesis al cajón de las altamente improbables.

De esta manera, estas dos serían las hipótesis más directas con las que desde la teoría se podrían solucionar los problemas causados por los neutrinos superlumínicos de OPERA. Sin embargo, y  como bien apunta Francis, lo más seguro es que este extraño resultado provenga de un error sistemático de medida en el experimento, por lo que no debemos asustarnos ni sacar a nuestro muertos más celebres de la tumba para reírnos de su ignorancia. Y aunque esto no fuese cierto, os lo acabo de explicar: Los neutrinos no tienen DeLorean.

He de confesar públicamente que uno de mis pasatiempos favoritos son los videojuegos y, en lo enorme de su variedad, disfruto especialmente con aquellos en los que la lógica y la agudeza mental constituyen el ingrediente principal; juegos que, por desgracia, en los últimos años han caído en el olvido fruto de la fagocitosis cinematográfica que el octavo arte está sufriendo. Por todo ello, ha sido una grata sorpresa el jugar a Braid. Si bien es un juego que ya tiene unos años, hasta ahora no había tenido oportunidad de jugarlo y, una y mil veces, no me arrepiento de su compra, pese a lo corto que se puede hacer si uno tiene la cabeza engrasada y funcionando.

Ahora bien… Os estaréis preguntando a qué narices viene hablar de videojuegos en un blog tan orientado a la física y tan técnico como este… Pues la razón no es otra que la principal característica del juego, jugar con el tiempo.

Ya en los primeros niveles descubrimos que la habilidad de nuestro protagonista no es otra que ser capaz de invertir la dirección de la flecha del tiempo, volviendo atrás sobre sus pasos y siendo capaz de enmendar sus errores. Y no sólo eso, si no que conforme avanza en el progreso de la búsqueda de su princesa, los nuevos mundos que encontramos llevan cada vez más al extremo lo retorcido del juego con el tiempo, incluyendo objetos que no se ven afectados al retroceder (estarían fuera del tiempo, como Bart y Milhouse en aquella Casa del Terror…) o el asunto que ha provocado que escriba este post, el paralelismo de la flecha del tiempo con la dirección de nuestro personaje.

Me explico, llegados al Mundo 4 de la aventura nos encontramos con una cosa muy curiosa, además de poseer la habilidad propia de nuestro protagonista, el flujo del tiempo se comporta de una manera muy peculiar, pues transcurre normal cuando uno se desplaza hacia la derecha, pero… ¡se invierte si nos desplazamos hacia la izquierda! Así, cuando nuestro monigote se desplaza hacia la izquierda de la pantalla en su mundo bidimensional, se encuentra con que los enemigos vuelven a la vida pese a haberles machacado los sesos con sus zapatos y que las puertas que abrió vuelven a cerrarse… Algo verdaderamente curioso y que me llevó a preguntarme… ¿Sería posible crear un mundo como este? ¿Permite la Relatividad General construir el mundo 4 del Braid?

Como muchos sabréis, la Relatividad General representa la generalización de la Especial, generalización en el sentido de que elimina las restricciones de esta. Si bien en Relatividad Especial la métrica debía tener una forma característica, en la teoría General se admite cualquier tipo de métrica, aunque quizás luego nos encontremos con que es imposible tener el contenido de materia que deforma el espacio y el tiempo de esa manera concreta. Así, muchos estudios sobre viaje MRL o motores Warp comienzan proponiendo la forma de la métrica y buscando a continuación qué distribución de materia necesitamos, encontrándose en la mayoría de los casos con la necesidad de la famosa materia exótica.

Así pues, nosotros seguiremos este camino para intentar construir el Mundo 4. Para ello propondremos una métrica en 3 dimensiones (dos espaciales, correspondientes al mundo bidimensional del juego y una temporal) escrita de manera conveniente para reflejar lo que en el juego se observa. Esta métrica tomará la siguiente forma

Lo único que se  ha hecho es tomar la métrica de Minkowsky y multiplicar la componente temporal por un vector unitario en el sentido de la velocidad, de manera que cuando Tim (nuestro protagonista) se desplace hacia la derecha obtengamos la métrica de Minkowsky, mientras que cuando se desplace hacia la izquierda el tiempo se invierta. Sencillo ¿no?

Una vez tenemos la métrica, llega la hora de jugar. Sí, es verdad, este es un mundo que quizás nunca exista (eso lo dejo para el final, para no matar la esperanza ) pero aún así es interesante tratar de hacer física en él. ¿Por qué? Pues porque los que nos dedicamos a cosas relacionadas con la Relatividad General, muchas veces nos encontramos con expresiones de métricas nuevas o extrañas y por tanto, esta tontería que estamos haciendo resulta un buen campo de entrenamiento. Además, somos unos frikazos, admitámoslo

Los Rayos de Luz

Una de las primeras cosas que uno se plantea en estos casos es… ¿qué pasa con la luz? Además de por lo sencillo del cálculo, la trayectoria de los rayos de luz en un sistema físico es fundamental, pues indica el límite de causalidad del sistema, es decir, el límite a partir del cual los objetos no pueden influir ni ser influidos (en) por el sistema.

En nuestro caso, lo que nos encontramos al calcular la trayectoria de los rayos de luz (o lo que es lo mismo, buscar la curva para la que ds=0) suponiendo que el rayo de luz viajase en la horizontal (y por tanto con dy=0) es lo siguiente:

donde V es la velocidad del rayo de luz.

Como se puede comprobar fácilmente, esta ecuación sólo tiene solución en el caso de que V=1, lo cual implica varias cosas.

La primera y más obvia, que los rayos de luz se mueven a la velocidad de la luz (Capitán Obvio al rescate). En este caso encontramos que V=1, pero, si os fijais en la métrica, veréis que, acompañando al tiempo, donde debería haber una c, no hay nada, o mejor dicho, hay un uno. Esto es debido a que he utilizado el sistema de unidades llamado natural, en el que c=G=1. Por tanto, en este sistema de unidades, 1 es la velocidad de la luz y los rayos de luz hacen honor a su nombre reventando velocímetros.

¿Me atrevo con los conejos o me meto pa lo negro?

La otra consecuencia de lo particular de este mundo es mucho más divertida. Como he dicho, V=1 es la única solución de la ecuación. Es decir, V=-1 no es una solución posible y, por tanto, los rayos de luz ¡no se pueden propagar de derecha a izquierda! Si bien este es un resultado lógico a fin de salvaguardar el Principio de Causalidad (los rayos de luz no pueden viajar al pasado), nuestro aventurero rescataprincesas y no fontanero no podría ver nada de lo que tuviese a su derecha, pues sólo se encontraría un negro infinito del que la luz no podría escapar hacia la izquierda a fin de llegar a sus ojos y permitirle ver, se encontraría un horizonte de sucesos que tendría que cruzar a fin de observar lo que le espera. Vamos… que tendría un futuro muy negro.

Geodésicas

Vale, está claro que la luz tiene prohibido ir hacia atrás… pero ¿qué hay de Tim? ¿Podrá nuestro héroe dar la vuelta para poder resolver los puzles que surgen en su aventura? ¿O tendrá que tirar palante y que sea lo que FSM quiera?

Para poder conocer las respuestas a estas preguntas debemos calcular las geodésicas de este espacio-tiempo, es decir, las curvas que siguen los objetos que se mueven libres en él. Para ello, planteamos sencillamente el funcional de longitud del espacio-tiempo:

donde se han obviado los pasos intermedios de calcular ds, y los signos menos y más en el interior de la raíz se corresponden con moverse hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.

Variando este funcional llegamos a las Ecuaciones de Euler-Lagrange, o ecuaciones del movimiento, que convenientemente escritas resultan en:

Un sencillo sistema de ecuaciones diferenciales. Solucionándolo uno se encuentra que en el caso de moverse hacia la derecha las trayectorias son líneas rectas (como era de esperar, pues la métrica se reduce a la de Minkowsky) pero, si lo que hacemos es movernos a la izquierda nos encontramos con que ¡no existen geodésicas! Es decir ¡es imposible viajar hacia la izquierda e ir al pasado! O, interpretándolo de una manera correcta, nos llevaría tiempo o energía infinita viajar al pasado y, por tanto, está prohibido… lo cual es un gran problema para Tim…

¿Es posible este mundo?

Después de intentar comprender cómo sería la física de este mundo cabe preguntarse… ¿es posible construirlo?

Pobre Tim... con lo alegre que está pisando cabezas y lo que le maltrata la física...

Para encontrar esta respuesta debemos mirar a las ecuaciones de Einstein, las cuales relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la materia y energía que este contiene. Así, calculando el Tensor de Einstein de nuestro mundo 4 a través de la métrica y comparándolo con el tensor de energía e impulso, nos encontramos con que, en principio, este podría ser creado por chorros de momento (o materia) entrando por la perpendicular de la pantalla de nuestro ordenador (vamos, que necesitaríamos una dimensión adicional para hacer realidad nuestro sueño) y saliendo por la vertical, como una fuente de partículas masivas que entrase en nuestro televisor y se esparciese por la pantalla. Sin embargo, nos encontramos un problema, porque la cantidad exacta de momento que ha de fluir por segundo al interior de la pantalla depende de la derivada del modulo de la velocidad respecto a x en el origen, el punto que representa el cambio entre ir hacia la derecha o hacia la izquierda… donde no existe pues… ¡hay una singularidad! Por tanto, es imposible aportar a nuestra tele el flujo de partículas correcto y permitirle a Tim viajar al pasado sin más que caminar… parece ser que lo tendrá más difícil para resolver sus puzzles..

Incluso aunque este mundo fuese posible, nos encontraríamos con que el punto x=0 presenta un horizonte que no nos permite ver el futuro pero que, a su vez, nos atrae inevitablemente, pues no podemos movernos hacia el pasado… por desgracia, y pese a lo increíble que es Braid, en la vida real Tim se vería siempre obligado a tirar palante sin pensar en las consecuencias… destrozando la maravillosa lógica que encierran los puzles del videojuego…

Sin embargo, para terminar quiero que os quedéis con un mensaje:

Las leyes de la Física que el hombre ha construido son tan sumamente poderosas que nos permiten comprender realidades que no existen.

Hasta otra

PD: Espero haberos hecho pasar un buen rato y, si no habéis jugado a Braid, vale dos duros, así que ¡jugadlo leñe!

Un señor con el colesterol alto y vestido de rojo me ha traido una tableta gráfica Wacom… y me veo en la obligación de utilizarla, aunque sea para hacer el payaso

Y ya de paso, Feliz Navidad

Pinche aquí para ver el vídeo

When I find that there is charge in space,
James Clerk Maxwell comes to me,
“Charge creates an E-field,
Del dot E.”

And when there is a current,
It creates a curly B
In the right hand direction,
Del cross B

Del dot E
Del cross E
Del dot B
Del cross B
Maxwell’s field equations,
Del cross B

Now all the magnetic dipoles,
Living in this world agree,
There are no monopoles,
Del dot B.

And though they both seem different,
They are coupled so the eye can see,
Partial B partial t,
Del cross E.

Emily2781: Hey

SkywalkerGuy: Hey, ¿Cómo estás?

Emily2781: Bien, tengo algo que contarte

SkywalkerGuy: ¿Qué es?

Emily2781: Se que debería decirte esto cara a cara, pero estoy un poco nervioso… llevamos saliendo por un tiempo… y las cosas han estado yendo muy bien

SkywalkerGuy: Sí

Emily2781: Creo… Creo que i <3 you (Te quiero)

SkywalkerGuy: Yo… No lo entiendo… No puedes escribir desigualdades con números imaginarios…

Emily2781 se ha desconectado

Visto en Fuck Yeah Maths

Entrenamiento de obediencia avanzado

Quien no reconozca que la matriz de rotación es un puntazo… merece la muerte

Vía Abstruse Goose y citado en Twitter por el amigo DarkSapiens.

Hace un par de semanas, se realizó en el programa de radio Milenio 3 un reportaje sobre el Valle de los Caídos. En él, se explicaba una supuesta relación entre El Escorial y la numerología de la manera siguiente:

Parece ser que ambas construcciones están orientadas formando 16º con los ejes cardinales y, según parece, para la numerología tiene cierta importancia. El encargado de tratar el tema realizaba los siguientes cálculos:

“Dieciséis es uno y seis:

1+6 =7.

Podemos decir que 16º es la veintidosava parte de 360º:

360º/16º=22

Veintidós entre siete da π.”

(22/7 ≈ 3.142857143)

Aparte del discutible juego de números para llegar a ese “valor de pi” y encontrarle algún tipo de significado, debemos aclarar que π no vale tal cosa, es más, π nunca puede ser expresado como cociente de enteros. Matemáticamente hablando π es un número irracional, al igual que el número e, la raíz cuadrada de dos o el número áureo. De hecho, Lambert demostró que π no es un número racional hace más de doscientos años.

A pesar de todo esto, el cociente entre veintidós y siete sí guarda una relación con el número π, aunque más bien se trata de una relación histórica; pues dicho cociente supuso durante varios siglos una de las aproximaciones más prácticas al valor real (nunca mejor dicho XD) de π .  Si bien en el siglo XVI (época de construcción de El Escorial) ya se conocían algunas aproximaciones mejores (véase, por ejemplo la aproximación de Ghyath ad-din Jamshid Kashani), no fue hasta principios del siglo pasado cuando Rāmānujan descubrió las series que llevarían su nombre, y que hoy en día se emplean por ejemplo en computación. Tales series (y posteriores modificaciones suyas) revelan un gran número de decimales de π en cada iteración.

En definitiva, es cuanto menos rebuscado lo que es capaz de hacer la numerología para buscar significados ocultos en estas estructuras; más aún si tenemos en cuenta que 360/16 = 22,5 y no 22.

Pinche aquí para ver el vídeo

Cuanto más te observo, más pareces cambiar.
Y si no te miro, no sabré dónde estás.
Demasiada incertidumbre en nuestra relación,
Hago conjeturas sobre tu situación.

Amor cuántico (amor)
Amor cuántico (amor)
Amor cuántico (amor)
Amor cuántico

No sé qué hacer, ni qué medidas tomar
Cuando voy a verte ¿qué me puedo encontrar?
¿Estás vivo o estás muerto, o ambas cosas a la vez?
Al abrir tu puerta, yo lo descubriré.

Amor cuántico (amor)…

Amor cuántico (amor)…

El tío ha clavado hasta la pose de las piernas... WTF!

Podeis ver más fotos de la extraña creación en Geekologie.

Esta es una entrada rescatada de Asturphysics, pero… carajo, mola igual

Entrada Original de Junio del 2008

Llevo unos días metido en casa estudiando sin parar para los examenes de Junio, con el “Mathematical Methods for Physicist” de Arfken como amigo y compañero y hoy, precisamente en ese libro, he encontrado el ejercicio con el enunciado más friki que puede existir, ejercicio que os muestro traducido al castellano aquí debajo.

Arfken: Siendo Freak desde 1985

Para ayudar a salir a la función generatriz del reino de la magia, demuestra que puede ser derivada de la relación de recurrencia Eq.11.10